Bonjour je suis en 1ère spe maths et je n’arrive pas à faire ce dm est ce que quelqu’un pourrait m’aider svp Merci d’avance

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

1)

x ∈ [0;5]

2)

Tu mettras les flèches sur les vecteurs.

M en D , alors B se projette en A dans le produit scalaire et :

MA.MB=DA²=4

M en C , alors A se projette en B dans le produit scalaire et :

MA.MB=CB²=4

3)

a)

MA.MB=(MD+DA)(MC+CB)

MA.MB=MD.MC+MD.CB+DA.MC+DA.CB

MD.MC=-x(5-x) car les vecteurs MD et MC sont de sens contraire.

MD.CB=0 ( vecteur nul) car ces 2 vecteurs sont orthogonaux.

DA.MC=0 ( vecteur nul) car ces 2 vecteurs sont orthogonaux.

DA.CB=2*2=4 car (DA) // (CB)

Donc :

MA.MB=x²-5x+4

b)

(MA) ⊥ (MB) <==> MA.MB=0 soit :

x²-5x+4=0

Δ=(-5)²-4*1*4=9

√9=3

x1=(5-3)/2=1 et x2=(5+3)/2=4

On a donc 2 positions de M pour lesquelles (MA) ⊥ (MB).

c)

La fct f(x)=ax²+bx+c avec a > 0 passe par un minimum pour x=-b/2a.

Ici , MA.MB passera donc par un minimum pour :

x=5/2

M sera alors milieu de [DC].

4)

a)

Seul scalaire DA.CB change et vaut a². Donc :

MA.MB=x²-5x+a²

b)

Il faut que l'équation :

x²-5x+a²=0

ait au moins  une  solution.

Δ=(-5)²-4a²=25-4a²

Il faut Δ ≥ 0 donc :

25-4a² ≥ 0 soit :

4a² ≤ 25

a² ≤ 25/4

"a" est une mesure donc forcément positif.

La fct carrée est croissante sur [0;+∞] .

a² ≤ 25/4 donne :

a ≤ 5/2 avec a ≥ 0.

5)

On peut conjecturer qu'il faut que :

mesure BC ≤ mesure AB/2.

Soit mesure AB=b.

Alors on a :

MA.MB=-x(b-x)+a²

MA.MB=x²-bx+a²

Il faut que : x²-bx+a²=0 ait au moins une racine.

Δ=(-b)²-4a²=b²-4a²

Il faut b²-4a² ≥ 0 soit :

4a² ≤ b²

a² ≤ b²/4

"a" et "b" sont des mesures donc positifs.

La fct carrée est croissante sur [0;+∞] .

a² ≤ b²/4 donne donc :

a ≤ b/2 avec a et b > 0.