Bonjour je n'arrive pas a faire mon exercice pouvez-vous m'aider Cordialement, hugo

Réponse :

f(x) = ln (x)/(x - 1)   définie sur  ]1 ; + ∞[

1) Montrer que, pour tout x ∈ ]1 ; + ∞[

                     f '(x) = (1  - 1/x  - ln (x))/(x - 1)²

f '(x) = (u/v) ' = (u'v - v'u)/v²  

u = ln (x)  ⇒ u' = 1/x

v = x - 1  ⇒ v' = 1

f '(x) = (1/x(x - 1) - ln (x))/(x - 1)²

   f '(x) = [1  - 1/x  - ln (x)]/(x - 1)²  

2) g(x) = 1 - (1/x)  - ln (x)  définie  sur ]1 ; + ∞[

a) calculer  g(1)

     g(1) = 1 - 1/1 - ln(1) = 0

b) vérifier que g '(x) = (1 - x)/x²

          g '(x) = 1/x² - 1/x

                   = (1 - x)/x²

c) après avoir étudié le signe de g ' sur ]1 ; + ∞[, donner le sens de variation de g sur ce même intervalle

  g '(x) = (1 - x)/x²   or  x² > 0  et  x > 1 ⇔ - x < - 1  ⇔ 1 - x < 0

  g '(x) < 0  ⇒ g est décroissante sur ]1 ; + ∞[

d) en déduire le signe de g sur ]1 ; + ∞[

     g(x) < 0

3) déduire des questions précédentes le signe de f ' puis le sens de variation de f

    f '(x) = g(x)/(x - 1)²  or  (x - 1)² > 0  et  g(x) < 0   donc  f '(x) < 0

f '(x) < 0 ⇒ f est décroissante sur ]1 ; + ∞[

Explications étape par étape :