Bonjour, Pouvez vous m'aidez s'il vous plait. Merci d'avance

Réponse :

soit  f(x) = (17 - 5 x)/(2 x² + 6 x - 20)

1) trouver les valeurs de a et b pour que f(x) = a/(2 x - 4)  + b/(x + 5)

f(x) = a/(2 x - 4)  + b/(x + 5)

     = [a(x + 5) + b(2 x - 4)]/(2 x - 4)(x + 5)

     = (a x + 5 a + 2b x - 4b)/(2 x - 4)(x + 5)

     = ((a + 2 b) x + (5 a - 4 b))/(2 x - 4)(x + 5)

donc   {a + 2 b = - 5  ⇔ a = - 5 - 2b

           {5 a - 4 b = 17  ⇔ 5(- 5 - 2 b) - 4 b = 17

⇔ - 25 - 10 b - 4 b = 17  ⇔ - 42 = 14 b  ⇔ b = - 42/14 = - 3

   a = - 5 - 2*(-3) = 1

donc  f(x) = 1/(2 x - 4)  +  (- 3)/(x + 5)

2) en déduire une primitive de f

     f  est définie  sur l'intervalle  I = ]- ∞ ; - 5[U]2 ; + ∞[

La primitive de  1/(2 x - 4)     avec u(x) = 2 x - 4  ⇒ u'(x) = 2

de la forme  u'/u  = 2/(2 x - 4)

il faut que f(x) soit de la forme  u'/u

   f(x) =  1/(2 x - 4) =  1 *2/2*(2 x - 4) = 1/2 * (2/(2 x - 4))

or la primitive de u'/u  est  ln u    avec  u > 0  ⇔ ⇔ 2 x - 4 > 0  ⇔ x > 2  ⇔ x ∈ ]2 ; + ∞[

donc la primitive  est :   1/2 * ln (2 x - 4)

maintenant cherchons la primitive de  - 3/(x + 5)

u(x) = x + 5  ⇒ u'(x) = 1   donc  u'/u = 1/(x + 5)

- 3/(x+ 5) =  - 3 * 1/(x + 5)

donc  la primitive de - 3/(x + 5)  est  - 3 * ln (x + 5)   avec  x + 5 > 0  ⇔

x > - 5  ⇔  x ∈ ]- 5 ; + ∞[

finalement la primitive de f(x) est :

F(x) = 1/2 * ln (2 x - 4) - 3 ln (x + 5)   pour tout  x ∈ ]- 5 ; 2[U]2 ; + ∞[

Explications étape par étape :