Bonjour pouvez-vous m’aider svp? C’est sur le chapitre du PGCD vu en terminale

Bonjour :))

Réponse :

Pour réaliser une transaction de x euros, il suffit de donner 2x jetons rouges et rendre 3x jetons bleus.

Exemple : nous souhaitons réaliser une transaction de 12 euros.

• 24 jetons rouges et 36 jetons bleus
• 24 * 11€ - 36 * 7€ = 12€

Explications étape par étape :

Montrons dans un premier temps que PGCD(11; 7) = 1. Autrement dit que 11 et 7 sont premiers entre eux. Cela paraît trivial, il est néanmoins important de montrer la méthode et de détailler l'algorithme afin d'en déduire les coefficients de Bézout.

11 = 1 * 7 + 4

7 = 1 * 4 + 3

4 = 1 * 3 + 1    <------ PGCD(11; 7) = 1

3 = 3 * 1 + 0

Par conséquent, nous concluons que 11 et 7 sont des nombres premiers entre eux.

Il faudrait maintenant connaitre la manière dont on peut former 1€ avec le système de transaction que nous souhaitons créer.

D'après le théorème de Bézout, il existe une combinaison linéaire avec u, v des entiers et a, b deux nombres premiers telle que :

a.u + b.v = 1

Avec les lignes de PGCD inscrites ci-dessus nous allons pouvoir identifier les coefficients de Bézout (u et v)

Un moment donné, on trouve : 4 = 1 * 3 + 1

Nous allons transformer l'expression de façon à isoler 1 de l'égalité

1 = 4 - 1 * 3

Ensuite en remontant les lignes du PGCD calculé, nous avons :

7 = 1 * 4 + 3

Nous allons isoler 3 :        3 = 7 - 1 * 4

En reprenant 1 = 4 - 1 * 3 on remplace le 3 par l'expression donnée au dessus.

1 = 4 - 1 * (7 - 1 * 4)

1 = - 1 * 7 + 2 * 4

On répète le même principe avec la ligne précédente du PGCD

1 = -1 * 7 + 2 * (11 - 1 * 7)

1 = 2 * 11 - 3 * 7

On sait que a = 11 et b = 7

C'est donc équivalent à dire que u = 2 et v = -3

D'après le théorème de Bézout, nous trouvons que pour former 1€, nous avons besoin de donner 2 jetons rouges (à 11€) et de rendre 3 jetons bleus (à 7€)

Ce qui permet de conclure que, nous pouvons réaliser n'importe qu'elle transaction de nombres entiers d'euros. Pour une transaction de x euros, il faudra alors donner 2x jetons rouges et rendre 3x jetons bleus.

Voilà ! j'espère que ceci te permettra de mieux comprendre !

Bon courage et bonne soirée :))