Bonsoir, j'aurais besoin d'aide en Maths sur les fonctions exponentielles s'il-vous-plaît... On considère la fonction définie pour tout réel x par: f(x) = e2x -
Question
On considère la fonction définie pour tout réel x par:
f(x) = e2x - ex
On appelle f' la fonction dérivée de f et G la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O, I, J) d'unité graphique 4 cm.
On remarquera que, pour tout réel x, on a:
e2x - ex = ex( ex -1)
1. Calculer lim f(x) x --> + infini et lim f(x) x --> - infini. Que peut-on en déduire pour la courbe G ?
2. a) Calculer f'(x) pour tout réel x et étudier son signe.
b) Calculer f (- ln2). On détaillera les calculs.
C) Dresser le tableau de variations de la fonction f.
3) Déterminer une équation de la tangente F à la courbe G au point d'abscisse 0.
4) Tracer la droite F et la courbe G.
Merci d'avance.
1 Réponse
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1. Réponse ltrstan
Réponse :
bonjour, les réponses sont écrites ci-dessous :)
Explications étape par étape :
1. [tex]\lim _{x\to \infty \:}\left(e^{2x}-e^x\right)[/tex] = [tex]\lim _{x\to \infty \:}\left(e^{2x}\left(1-\frac{1}{e^x}\right)\right)[/tex] = [tex]\infty[/tex]
[tex]\lim _{x\to \:-\infty \:}\left(e^{2x}-e^x\right)[/tex] = 0 - 0 = 0
2. a) f'(x) = [tex]\frac{d}{dx}\left(e^{2x}-e^x\right)[/tex] = [tex]2e^{2x} \:-e^x[/tex] ... f'(x) s'annule en x = - ln(2)
signes: x > - ln(2), f'(x) > 0 ; x < - ln(2), f'(x) < 0
b) f(-ln2) = - 0.25
c) x : | - [tex]\infty[/tex] - ln(2) + [tex]\infty[/tex]
f'(x) : | --- 0 +++
f(x) : jsp comment écrire ça sur ce site, dsl :(
3) tg F: y - f(0) = f'(0) (x - 0) ; y = f'(0) (x - 0) + f(0) = 1 (x - 0) + 0 = x ; donc, y = x
f'(0) = 2e²⁽⁰⁾ - e⁰ = 2(1) - 1 = 1
f(0) = e²⁽⁰⁾ - e⁰ = 1 - 1 = 0
4) la courbe peut se tracer a la calculatrice ou sur le site Desmos: tracer [tex]e^{2x} \:-e^x[/tex] et la droite y = x