on pose P(z)=z^3-(6+i)z^2+&z-13i , ou & est un nombre complexe. 1)calculer & pour que p(i)=0. 2)determiner les réels a et b tels que ,pour tout complexe z: P(z)

Bonjour,

1)  P(z)=z^3-(6+i)z^2+&z-13i

P(i)=i^3-(6+i)i²+&i-13i=0

P(i)=-i+6+i+&i-13i=0

P(i)=6+&i-13i=0

P(i)=6+(&-13)i=0

 

soit &=a+bi

P(i)=6+(a+bi-13)i=0

P(i)=6+ai+bi²-13i=0

P(i)=6+ai-b-13i=0

P(i)=6-b-13i+ai=0

P(i)=(6-b)-(13-a)i=0

il faut : 6-b=0  b=6  et 13-a=0  a=13   &=13+6i

P(z)=z^3-(6+i)z^2+(13+6i)z-13i =

2)    P(z)=(z-i)(z^2+az+b)

P(z) = z^3+az²+bz-z²i-azi-bi=

P(z) = z^3+z²(a-i)+z(b-ai)-bi= 

P(z)=z^3-(6+i)z^2+(13+6i)z-13i =

par identification des 2 expressions :

(a-i)=-(6+i)  -->a=-6

b-ai=13+6i  --> b=13  a=-6

bi=13i   -->  b=13

Donc a=-6 et b=13

P(z)=(z-i)(z^2-6z+13)

3)    P(z)=(z-i)(z^2-6z+13) = 0 

 

(z-i)= 0   --> z1=i

 

(z^2-6z+13) = 0

 

delta = 36-4*13=36-52=-16=(4i)²

 

z2 = (6+4i)/2=3+2i

 

z3 = (6-4i)/2=3-2i

 

S= {3-2i  ;  3+2i  ; i }

 

J'espère que tu as compris

a+