j ai besoin d aide svp ​

Bonjour

1)

u0=1

v0=2

u1 = ( 3*1 + 2*2) /5

u1 = ( 3 + 4) /5

u1 = 7/5 = 1,4

v1 = ( 2*1 + 3*2 ) / 5

v1 = ( 2 +6 ) / 5

v1 =  8/5 = 1,6

u2 = ( 3*(7/5) + 2*(8/5)) /5

u2 = ( 21/5 + 16/5) /5

u2 = 37/25 = 1,48

v2 = ( 2*(7/5)  + 3*(8/5) ) / 5

v2 = ( 14/5  + 24/5) / 5

v2 =  38/25= 1,52

2)

dₙ₊₁ =  vₙ₊₁ - uₙ₊₁

dₙ₊₁ =  (2uₙ + 3vₙ) /5 -  (3uₙ + 2vₙ) /5

dₙ₊₁ =  [ (2uₙ + 3vₙ)  -  (3uₙ + 2vₙ) ] /5

dₙ₊₁ =  [ 2uₙ + 3vₙ  - 3uₙ - 2vₙ ] /5

dₙ₊₁ =  [ - uₙ + vₙ ] /5 (1*)

Cf. pièce jointe pour vérification

3)

Une suite (dₙ) est géométrique si et seulement si pour tout entier naturel n,

dₙ₊₁ = a×dₙ où a est un nombre indépendant de n

Pour démontrer qu’un suite est géométrique, on peut donc montrer qu’elle respecte bien la relation dₙ₊₁ / dₙ = a. C'est a est constant alors  (dₙ) est géométrique de raison a. Application :

dₙ₊₁ / dₙ =   vₙ₊₁ - uₙ₊₁ /  vₙ - uₙ

dₙ₊₁ / dₙ =  [ - uₙ + vₙ ] /5  / [ vₙ - uₙ ]

dₙ₊₁ / dₙ =  [ vₙ - uₙ ] /5  / [ vₙ - uₙ ]

dₙ₊₁ / dₙ =  [ vₙ - uₙ ] /5  * 1 / [ vₙ - uₙ ]

dₙ₊₁ / dₙ = 1 / 5

Donc la suite dₙ est une suite géométrique.

b)  dₙ₊₁ * 5 = dₙ  mais d'après (1*)

    ([ - uₙ + vₙ ] / 5)  * 5 = dₙ

    [ vₙ - uₙ ]  = dₙ

3)

Sₙ = uₙ + vₙ

a)

S0 = S1 = S2 = 3  On conjecture que la suite (Sn) est constante (en 3)

b)

A l'aide d'un raisonnement par récurrence, démontrons que :

Sn+1 = Sn ou que DF(n) = Sn+1 - Sn = 0

Montrons que DF(n) est vraie pour tout n supérieur ou égal à 0.

Initialisation : Soit S1 - S0 = 3 - 3 = 0 (ou alors S1 = S0)

DF(0) est vraie.

Hérédité : Soit n supérieur ou égal à 0.

Supposons que DF(n) est vraie pour tout n, c'est-à-dire que Sn+1 - Sn = 0

Montrons que DF(n+1) est vraie pour tout n, c'est-à-dire que Sn+2 -Sn+1 = 0

Par hypothèse de récurrence, on a Sn+1 - Sn = 0.

Sₙ = uₙ + vₙ

Sₙ₊₁ = uₙ₊₁ + vₙ₊₁

Sₙ₊₂ = uₙ₊₂ + vₙ₊₂

Sₙ₊₂ -  Sₙ₊₁

= uₙ₊₂ + vₙ₊₂ - (uₙ₊₁ + vₙ₊₁)

= (3uₙ₊₁ + 2vₙ₊₁ + 2uₙ₊₁ + 3vₙ₊₁)/5 - 5uₙ₊₁ - 5vₙ₊₁

= (3uₙ₊₁ + 2vₙ₊₁ + 2uₙ₊₁ + 3vₙ₊₁ - 5uₙ₊₁ - 5vₙ₊₁)/5

= (5uₙ₊₁ + 5vₙ₊₁ - 5uₙ₊₁ - 5vₙ₊₁)/5

= 0/5

= 0 (car Sₙ₊₁ - Sₙ = 0 d'après l'hypothèse de récurrence)

DF(n) est donc vraie.

Conclusion : Pour tout n supérieur ou égal à 0, Sₙ₊₁- Sₙ = 0

C'est-à-dire que la suite (Sₙ) est constante.

4) ... sorry

Bon courage