Bonsoir, aidez moi s'il vous plaît je galèreavec une question : Démontrer que pour tout x appartenant à R+, e^(2x) > 2x(x+1)​

Réponse :

Bonjour je te propose une méthode, e^(2x)>2x(x+1)  comme x>0

on peut écrire e^2x/2x(x+1)>1

on étudie la fonction f(x) =[e^2x]/(2x²+2x) sur ]0;+oo[

Explications étape par étape :

limites :

si x tend vers 0 e^2x tend vers12x²+2x tend vers 0 donc f(x ) tend vers +oo.

si x tend vers +oo f(x) tend vers +oo

Dérivée f'(x)=[(2e^2x)(2x²+2x)-(4x+2)(e^2x]/(2x²+2x)²

f'(x)=(e^2x)(4x²-2)/(2x²+2x)²

le signe de f'(x) dépend uniquement du signe de 4x²-2

f'(x)=0 pour x=1/V2  et (-1/V2) hors Df

tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x) sur ]0; +oo[

x    0                          1/V2                                 +oo

f'(x)          -                     0            +

f(x) +oo......D.................f(1/V2)...........C..............+oo    

On notera que f(1/V2) est >1  (calculette)

L'inéquation est donc vérifiée.