Bonjour, pouvez vous m'aider d'il vous plaît je bloque sur cet exercice. Merci. On considère la suite (Un) définie par U0, = 2 et pour tout entier n, Un+1 = Un/

Réponse :

U0 = 2

Un+1 = Un/(Un  + 1)   pour tout entier naturel n

1) on pose Vn = 1/Un

Démontrer que (Vn) est une suite arithmétique

   Vn+1 - Vn =  1/Un+1)  - 1/Un

                    = 1/Un/(Un  + 1)] - 1/Un

                    = [(Un  + 1)/Un]  - 1/Un

                    = (Un + 1  - 1)/Un

                    = Un/Un = 1

Donc  la suite (Vn) est une suite arithmétique   Vn+1 = (Vn) + 1

de premier terme  V0 = 1/U0 = 1/2  et de raison  r = 1

2) en déduire alors Un en fonction de n

    Vn = 1/2  + n

Vn = 1/Un  ⇔  Un = 1/Vn  ⇔ Un = 1/(1/2 + n) = 2/(1+2n)

3) pour quelle valeur de n

  Un = 2/41

  2/(1+ 2 n) = 2/41  ⇔ 1 + 2 n = 41  ⇔ 2 n = 40  ⇔ n = 40/2 = 20

Explications étape par étape :