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Question

15 point : devoir noter s'il vous plait aidez moi, meme si vous répondez qu'à une seule question j'accepte
15 point : devoir noter s'il vous plait aidez moi, meme si vous répondez qu'à une seule question j'accepte

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1 Réponse

  • 2) L'aire de ONMP est ONxMN
    ON correspond à l'abscisse de M donc ON=x
    ONM est rectangle en N. On applique Pythagore :
    OM²=ON²+MN²
    OM est le rayon du cercle donc OM=4
    On a donc MN²=OM²-ON²=4²-x²=16-x²
    et MN=√(16-x²)

    Donc f(x)=x√(16-x²)

    3a) f(x)=x√(16-x²)=√(x²(16-x²))
    Or x²(16-x²)=16x²-x^4=64-64+16x-x^4=64-(x²-8)² car (x²-8)²=x^4-16x²+64
    Donc f(x)=√(64-(x²-8)²)

    3b) On sait que (x²-8)≥0 car un carré est toujours positif
    Donc -(x²-8)²≤0 ⇔ 64-(x²-8)²≤64 ⇔ √(64-(x²-8)²)≤8 ⇔ f(x)≤8
    Donc le maximum de f est 8
    f(x)=8 ⇔     √(64-(x²-8)²)=8 ⇔ 64-(x²-8)²=64 ⇔ x²-8=0 ⇔ x=2√2

    3c) Quand x=2√2, MN=√(16-8)=√8=2√2
    Donc ON=MN ⇔ ONMP est un carré.

    4a) Soit a et b ∈ [0;2√2] tel que a<b
    alors a²<b²
    ⇔a²-8<b²-8 or a et b sont ≤ √8 donc a² et b²≤8 donc a²-8<b²-8<0
    Or la fonction x² est décroissante sur IR- donc
    (b²-8)²<(a²-8)² ⇔ u(b)<u(a) donc u  est décroissante sur [0;2√2]

    4b) si u(x) est décroissante alors -u(x) est croissante car
    si a<b sur [0;2√2]
    u(b)<u(a)
    ⇔-u(a)<-u(b)
    ⇔64-u(a)<64-u(b)
    ⇔√(64-u(a))<√(64-u(b))
    ⇔f(a)<f(b) donc f est croissante sur  [0;2√2]

    4c)     Soit a et b ∈ [2√2;4] tel que a<b
    alors a²<b²
    ⇔a²-8<b²-8 or a et b sont ≥ √8 donc a² et b²≥8 donc a²-8<b²-8≥0
    Or la fonction x² est croissante sur IR+ donc
    (a²-8)²<(b²-8)²
    ⇔-(b²-8)²<-(a²-8)²
    ⇔ 64-(b²-8)²<64-(a²-8)²
    ⇔√(64-(b²-8)²)<√(64-(a²-8)²)
    ⇔f(b) < f(a) donc f est décroissante sur [2√2;4]

    4d)
    x            0                                    2√2                                    4
    f(x)                  croissante                        décroissante

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