Bonjour, J'aurais besoin d'un peu d'aide sur cette exercice : Montrer que, pour tout entier naturel n, 5 divise n^5-n. On pourra écrire le développement de (n+1

Bonsoir
On va procéder par récurrence, mais d'abord on développe (n+1)^5
(n+1)^5=n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n+1
récurence
initialisation: je te laisse la faire
hérédité:
on suppose que
n^5-n=5q et on va montrer qu'alors (n+1)^5-(n+1) est multiple de 5.
n^5-n=5q équivaut à n^5=5q+n
(n+1)^5-(n+1)=n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n+1-n-1
=n^5+5n^4+10n^3+10n^2+4n
or n^5=5q+n
donc
(n+1)^5-(n+1)=5q+n+5n^4+10n^3+10n^2+4n
=5q+5n^4+10n^3+10n^2+5n
=5(q+n^4+2n^3+2n^2+n)
donc (n+1)^5-(n+1) est multiple de 5
donc la propriété est démontrée