Bonsoir vous pourriez m'aider pour cette exo svp mercii

Réponse :

soit  A(x) = (3 - x)² - (5 x - 1)(3 - x)

1) démontrer que pour tout réel x,  A(x) = 6 x² - 22 x + 12

il suffit de développer A(x)

A(x) = (3 - x)² - (5 x - 1)(3 - x)

      = 9 - 6 x + x² - (15 x - 5 x² - 3 + x)

      = 9 - 6 x + x² - (16 x - 5 x² - 3)

      = 9 - 6 x + x² - 16 x + 5 x² + 3

A(x) = 6 x² - 22 x + 12

2) factoriser A(x)

 A(x) = (3 - x)² - (5 x - 1)(3 - x)

        = (3 - x)(3 - x - 5 x + 1)

        = (3 - x)(4 - 6 x)

    A(x) = 2(3 - x)(2 - 3 x)

3) résoudre dans R les inéquations suivantes :

a) A(x) < 0   ⇔ 2(3 - x)(2 - 3 x) < 0

     x         - ∞             2/3              3                + ∞

  3 - x                 +                 +       0        -    

  2 - 3 x              +        0       -                  -

    A(x)                +         0       -        0        +

L'ensemble des solutions de l'inéquation A(x) < 0  est :  S = ]2/3 ; 3[

b)  A(x) ≥ 12  ⇔  6 x² - 22 x + 12 ≥ 12  ⇔ 6 x² - 22 x ≥ 0  ⇔ 2 x(3 x - 11) ≥ 0

        x          - ∞              0             11/3               + ∞

      2 x                   -        0      +                  +

    3 x - 11               -                 -        0         +

         P                   +        0      -        0         +

L'ensemble des solutions de l'inéquation A(x) ≥ 12  est :

       S = ]- ∞  ; 0]U[11/3 ; + ∞[  

Explications étape par étape :