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Question

Bonjour,
J’aurais besoin d’aide pour répondre à la deuxième question de cet exercice.
Je ne trouve pas la méthode.
J’ai essayé avec la récurrence mais je doute que ce soit la bonne méthode et de toute façon je n’y parvient pas.
Pourriez-vous m’aiguiller pour que je trouve au moins la bonne méthode, merci d’avance!
Bonjour, J’aurais besoin d’aide pour répondre à la deuxième question de cet exercice. Je ne trouve pas la méthode. J’ai essayé avec la récurrence mais je doute

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1 Réponse

  • Réponse :

    Bonjour

    On a u₀ = 2 et uₙ₊₁ = 2uₙ - 5n + 6

    On veut montrer que uₙ = 3 × 2ⁿ + 5n - 1

    Initialisation

    u₀ = 2

    et 3 × 2⁰ + 5 × 0 - 1 = 3 - 1 = 2

    La propriété est vraie au rang 0

    Hérédité

    Si à un certain rang n on a uₙ = 3 × 2ₙ + 5n -1,

    on cherchera à montrer que uₙ₊₁ = 3 × 2ⁿ⁺¹ +5(n +1) - 1 = 3 × 2ⁿ⁺¹ + 5n + 4

    uₙ₊₁ = 2uₙ - 5n + 6

    ⇔ uₙ₊₁ = 2(3 × 2ⁿ + 5n - 1) - 5n + 6 (par hypothèse de récurrence)

    ⇔ uₙ₊₁ = 3 × 2ⁿ⁺¹ + 10n - 2 - 5n + 6 = 3 × 2ⁿ⁺¹ - 5n + 4

    Si la propriété est vraie au rang n , elle est vraie au rang n+ 1 , elle est donc héréditaire

    Conclusion

    La propriété est vraie au rang 0 , et elle est héréditaire.

    Donc pour tout entier naturel n , uₙ = 3 × 2ₙ + 5n - 1

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