Bonjour, je suis bloqué à une question de mon DM pouvez vous m'aider svp ? Voici l'énoncé : Pour tout entier naturel n, on pose Sn= sigma (avec k=0 et n au dess
Mathématiques
ninise
Question
Bonjour, je suis bloqué à une question de mon DM pouvez vous m'aider svp ?
Voici l'énoncé :
Pour tout entier naturel n, on pose Sn= sigma (avec k=0 et n au dessus de sigma) (2k-1)/2^k
1) calculer S0,S1,S2 et S3
2) montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, on a Sn= 2-(2n+3)/2^n
Merci d'avance pour votre réponse
Voici l'énoncé :
Pour tout entier naturel n, on pose Sn= sigma (avec k=0 et n au dessus de sigma) (2k-1)/2^k
1) calculer S0,S1,S2 et S3
2) montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, on a Sn= 2-(2n+3)/2^n
Merci d'avance pour votre réponse
1 Réponse
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1. Réponse slyz007
1) S0=(2*0-1)/2^0=-1
S1=-1+(2-1)/2=-1/2
S2=-1/2+3/4=1/4
S3=1/4+5/8=7/8
2) S0=-1
2-(2*0+3)/2^0=2-3=-1
Donc c'est vrai au rang 0
Supposons qu'au rang n on ait :
Sn=2-(2n+3)/2^n
Sn+1=2-(2n+3)/2^n+(2(n+1)-1)/2^(n+1)
Sn+1=2+(2n+2-1-2(2n+3))/2^(n+1)
Sn+1=2+(2n-4n+1-6)/2^(n+1)
Sn+1=2+(-2n-5)/2^(n+1)
Sn+1=2-(2n+2+3)/2^(n+1)
Sn+1=2-(2(n+1)+3)/2^(n+1)
Donc quelque soit n
Sn=2-(2n+3)/2^n