Bonsoir je n’arrive pas svp: Pour chacune des fonction calculer la dérivée et en déduire les variations : 1)f1(x)=(x+2)e^-x 2)f2(x)=x^2e^-x 3)f3(x)=(2x+3)e^2 4)

Réponse :

pour chacune des fonctions calculer la dérivée et en déduire les variations

1) f1(x) = (x + 2)e⁻ˣ  

  f1 '(x) = u'v + v'u = e⁻ˣ - e⁻ˣ(x +2) = e⁻ˣ(1 - x - 2) = e⁻ˣ(- x - 1)

u = x + 2  ⇒ u ' = 1

v = e⁻ˣ  ⇒ - e⁻ˣ

f1 '(x) = e⁻ˣ(- x - 1)   or  e⁻ˣ > 0

donc le signe de f1 '(x) dépend du signe de  - x - 1

      f1 '(x) = 0  ⇔ - x - 1 = 0  ⇔ x = - 1

          x      - ∞            - 1                + ∞

       f1 '(x)             +       0        -

f1 '(x) ≥ 0  sur l'intervalle ]- ∞ ; - 1]  ⇒ f1(x) est croissante sur ]-∞ ; - 1]

f1 '(x) ≤ 0   //         //          [- 1 ; + ∞[  ⇒ f1(x) est décroissante sur [- 1 ; + ∞[

2) f2(x) = x²e⁻ˣ  

  f2 '(x) = 2 xe⁻ˣ - x²e⁻ˣ = e⁻ˣ(2 x - x²)   or  e⁻ˣ > 0

 le signe de f2 '(x) dépend du signe de 2 x - x²

   f2 '(x) = 0   ⇔  2 x - x² = 0    ⇔ x(2 - x) = 0  ⇔ x = 0  ou x = 2

            x       - ∞               0                 2                + ∞

         f2 '(x)              -        0        +       0         -

f2 '(x) ≥ 0  sur [0 ; 2] ⇒ f2(x)  est croissante sur [0 ; 2]

f2 '(x) ≤ 0  sur  ]- ∞ ; 0]U[2 ; + ∞[  ⇒ f2(x) est décroissante

    sur ]- ∞ ; 0]U[2 ; + ∞[  

Explications étape par étape :